버츠와 스위너톤-다이어 추측

Birch and Swinnerton-Dyer Conjecture[1]

Contents

1. 개요
2. 배경지식 및 해설
2.1. 디오판토스 방정식
2.2. 타원곡선
2.3. L-함수
2.4. 문제의 내용
2.5. 의미와 중요성
3. 대중문화속의 모습, 트리비아

1. 개요


수체(number field) K 위에서의 타원곡선 E의 모델-베유 군(Mordell-Weil group) E(K)의 계수(rank)는, E의 하세-베유 L-함수(Hasse-Weil L-function) L(E,s)가 s = 1에서 갖는 근의 차수와 같다.
아니 이게 뭔소리야
대중문화에 많이 소개된 리만 가설, 푸앵카레 추측 등의 형제 문제들과는 다르게, 이 문제는 최소한의 이해를 위해 요구하는 배경의 수준마저도 훨씬 높다. 이 정리가 다루는 대상인 타원곡선은 수학과 학부과정에서 배울까 말까하는 수준이고, 그 성질의 이해는 수학자들도 전공분야가 아니면 깊게 공부하지 않는다.

즉, 어쩌다 여기에 잘못 들어오게 된 위키러들은 이 글이 이해가 되지 않아도 절대 좌절하지 말기를 바란다. 그럴거면 이 항목은 도대체 왜 쓴거야 아니, 그 이전에 이 항목 도대체 누가 쓴거야 이해하는 사람이 없어서 설명에 취소선 코빼기도 안 보인다

2. 배경지식 및 해설

2.1. 디오판토스 방정식

정수론의 가장 중요한 문제 중 하나는 방정식정수해 또는 유리수해를 찾는 것이다.

간단한 예로 다음 문제를 생각해 보자. 세 변의 길이가 모두 정수인 직각삼각형은 어떤 것이 있을까?

다시 말해서, 이는 피타고라스의 정리의 방정식 a2 + b2 = c2 을 만족하는 자연수 (a,b,c)를 찾는 것이다. 이를 만족하는 (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17), (6,8,10), ... 같은 무한히 많은 쌍들은, 모두 (a, b, c) = k*(m2 - n2 , 2mn, m2 + n2 ) 또는 k*(2mn, m2 - n2 , m2 + n2 ) 의 형태로 나타낼 수 있다. 이런 식으로 변수가 정수인 다항방정식을 디오판토스 방정식(Diophantine equation)이라 부른다.

유명한 페르마의 마지막 정리 xn + yn = zn 도 디오판토스 방정식의 예라고 볼 수 있다. 하지만 페르마의 마지막 정리 항목을 보면 알겠지만, 이 경우의 정수해는 x나 y가 0인 것을 제외하고는 존재하지 않는다. 이 문제는 대다수의 디오판토스 방정식은 보기와는 다르게 매우 어렵다는 것을 시사하기도 한다. 사실 실수의 방정식이라면 (차수나 양음의 조건만 만족시키면) 해가 존재하는 건 당연하지만, 이 경우에는 '정수가 되어야 한다'는 훨씬 까다로운 조건을 만족해야 하니...

방정식의 유리수해를 찾는 것은 정수해를 찾는 것과 꽤 비슷하다. 예로 위의 피타고라스 정리 방정식의 경우 양변을 c로 나누고 a/c = x, b/c = y라 하면, 이는 원 x2 + y2 = 1 위의 점 중 (x,y)가 유리수인 점을 찾는 문제가 된다.

2.2. 타원곡선

타원곡선(elliptic curve)은 일반적으로
E: y2 = x3 + Ax + B
꼴의 도형의 방정식을 나타낸다. 정수론에서 관심을 두는 것은 (x,y)가 유리수인 해, 즉 유리수점의 집합 E(Q)을 찾는 것이다.

타원곡선의 유리수점들은 해들을 '더할 수 있는' 특이한 구조를 가지고 있다. 곡선 위의 두 점 P와 Q를 더하는 방법은 대략 다음과 같다. P와 Q를 잇는 직선 l을 생각하고, l과 E의 다른 교점 R을 생각한다. 이제 R의 y좌표를 -로 바꾼 점 R'은 P+Q가 된다. 이 덧셈에 대해서 유리수점들은 가환을 이룬다. 다시 말해 이 덧셈에 대해 교환법칙과 결합법칙이 성립하고, 0에 해당하는 점에 대해 [2] 점들을 빼는 것도 가능하다는 것이다. 이 E(Q)의 군을 모델-베유 군(Mordell-Weil group)이라 하자.

이제 자연스럽게 떠오르는 질문은 E(Q)의 군의 구조에 대한 것이다. 모델-베유 정리(Mordell-Weil theorem)에 따르면 이 군은 유한생성(finitely generated)된다. 다시 말해 유한 개의 유리수점 P1 , P2 , ..., Pk 가 있어서, 이들의 합으로 모든 점을 나타낼 수 있다. 이를 만족하는 최소개수의 점들 중, 반복해서 더해서 0이 되지 않는 점들의 개수를 타원곡선의 계수(rank)라고 한다. 이 계수를 r이라 한다면, 타원곡선의 모든 유리수점은 다음의 꼴로 (단 ni 는 정수, Ptorsion 은 반복해서 더해서 0이 되는 점)
P = n1 P1 + n2 P2 + ... + nr Pr + Ptorsion,
유일하게 나타낼 수 있다.

사실 앞의 두 단락에 서술한 부분은 군론, 특히 그 중에서도 유한생성 아벨군의 기본 정리(fundamental theorem of finitely generated abelian groups)를 모르면, 도저히 이해를 할래야 할 수 없는 내용이다. 대수학을 배우지 않아 어리둥절해할 위키러들은 대신, 타원곡선의 계수에 대해서 다음만을 기억하고 넘어가도록 하자:

계수는 타원곡선의 유리수점이 얼마나 많은지 나타나는 지표이다. [3]

2.3. L-함수

경고: 정수론의 배경지식이 없으면 이해가 좀 많이 힘들 수도 있습니다.

디오판토스 방정식을 푸는 데에 중요한 접근 중 하나는, 방정식을 특정 정수로 나눈 나머지로 생각하는 것이다. 예를 들면 x2 - 3y2 = 2 같은 방정식은 정수해가 존재하지 않는데, 이는 정수 x에 대해 x2 를 3으로 나눈 나머지는 0과 1밖에 없기 때문이다. 비슷하게 x2 + y2 = 103 같은 경우도, x2 + y2 을 4로 나눈 나머지는 0, 1, 2밖에 가능하지 않으므로 정수해가 없다.

일반적으로 (x와 y에 대한 식) = 0 꼴의 디오판토스 방정식에 대해, (x와 y에 대한 식)이 정수 N으로 나누어 떨어지는 해가 있는지[4]의 조건을 국소적 조건이라 한다. 디오판토스 방정식이 해가 존재하려면 당연히 국소적 조건을 만족시켜야 하지만, 그 역이 성립하지는 않는다.

이제 하세-베유 L-함수(Hasse-Weil L-function), 간단히 L-함수라는 대상은, 임의의 방정식에 대해 국소적 조건의 조각들을 모두 모음으로 만들어진다. 즉 소수 p에 대해서 합동방정식
Ep : y2 ≡ x3 + Ax + B (mod p ) [5]
의 해의 개수 [6]에 대한 적절한 식[7] 으로 정의하는데, 타원곡선의 경우 이 함수는
L(E,s) = Πp (1- ap p(1-s) + p(1-2s) )-1
로 나타난다. 여기서 ap 는 p+1-(Ep 의 해의 개수).

어찌 보면 이는 리만 가설에 나오는 리만 제타함수의 아날로그라 생각할 수 있다. 제타함수의 오일러곱을 생각하면 이는 소수 p에 대한 국소적 함수 (1 - p-s ) 들의 모음이니까. 다만 소인수분해의 일의성에 의해 소수의 개수와 리만 제타함수가 바로 연결되는 상황과는 다르게, 타원곡선의 L-함수는 유리수점 E(Q)의 개수에 대한 정보를 줄 이유가 선험적으로는(a priori) 전혀 없다.

2.4. 문제의 내용

이제까지 나왔던 개념들을 정리해 보자. 타원곡선 E의 계수 r은 타원곡선의 유리수점의 군에 대응되는 양으로, 유리수점이 얼마나 많은지를 나타내는 지표이다. 한편 하세-베유 L-함수는 E의 국소적 조건들을 모두 모아 합친 양이다. 앞서 말하진 않았지만, 복소해석학의 이론에 따르면 L-함수에서 s = 1에서의 근의 차수는 특별한 의미를 가진다. 중간과정을 모두 생략하면, 이 근의 차수는 국소적 조건으로 유리수점이 얼마나 많은지를 어림하는 '추정치'라고 생각될 수 있다. 즉 버츠와 스위너톤-다이어 추측은 결국에는

실제 유리수점이 얼마나 많은지는 국소적 조건의 정보로 계산한 추정치와 사실 일치한다

의 내용을 말하고 생각될 수 있는 것이다.

2.5. 의미와 중요성

사실 실용성에서는 이 문제는 존재하지 않는다고 해도 무방하다. 그러나 순수 수학에서의 발견이 중요한 실용적 귀결을 갖는다는 사실은 역사 속에서 알 수 있다. 이런 문제와 해결책이 하나의 토대가 되면서 현대 인류의 발전을 이룩해 나가는것이다. 중2병같지만 사실입니다

3. 대중문화속의 모습, 트리비아

추가바람. 있을리가 없겠지만
위에도 설명했다시피 대학전공 수학을 기본적으로 요구 하기때문에 사람들에게 잘 알려지지도 않았고 쓰임새도 없기 때문에....

여담으로 이 문제를 밀레니엄 문제로 선정한 사람은 페르마의 대정리를 증명한 앤드루 와일스 교수이다. 실제로 페르마의 마지막 정리 증명을 보면 첫줄 부터 '타원 곡선'과 '하세-베유 제타 함수'같은 게 마구 튀어 나온다. 다시 말해, 이 문제는 페르마의 대정리를 해결하면서 나온 부산물인 셈이다. 결국은 페르마모든 일의 원흉의 원흉
----
  • [1] Bryan Birch와 Peter Swinnerton-Dyer 두 사람이다. 하이픈(-)이 빠지면 안 되는 이유.
  • [2] 여기서는 (무한대, 무한대)의 가상의 점으로 생각
  • [3] 엄밀하게 말하면 분모, 분자가 모두 N 이하인 유리수점의 개수가 증가하는 개형을 r로 표현할 수 있다.
  • [4] 즉 방정식을 법 N에 대한 합동방정식으로 보았을 때 해가 있는지
  • [5] 양변을 p로 나누었을 때 나머지가 같다는 소리임.
  • [6] 여기서 '해의 개수'라 함은 x나 y를 p로 나눈 나머지만을 생각하는 개념이다. x나 y가 모두 0에서 p-1 일 때까지만 생각한다고 봐도 무방하다.
  • [7] 보통은 모든 유한체(finite field) 위에서의 해의 개수를 모두 생각하고, 타원곡선의 경우에는 Fp 의 경우를 계산하는 것만으로도 L-함수를 구하기 충분한 상황이다.

최종 확인 버전:

cc by-nc-sa 2.0 kr

Supported by Veda

엔하위키 미러는 엔하위키의 컨텐츠를 빠르고 안정적으로 보여주기 위한 사이트입니다. (자세히 알아보기)